Primzahlen faszinieren die Mathematiker schon seit vielen Jahrhunderten. Bereits Euklid wusste, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, und er kannte bereits den Satz von der eindeutigen Primfaktor-Zerlegung, der deutlich später von Gauß formal bewiesen wurde.

Auf den ersten Blick scheinen Primzahlen eher zufällig aufzutreten; dies Phänomen wollen wir aber genauer unter die Lupe nehmen. Wir werden uns mit der Dichte der Primzahlmenge beschäftigen, und uns das Wachstumsverhalten einiger verwandter Funktionen anschauen, wie zum Beispiel der Teileranzahlfunktion oder der Eulerschen φ-Funktion, die die zu einer natürlichen Zahl n teilerfremden, kleineren Zahlen abzählt.

Die Methoden, derer wir uns dabei bedienen, kommen  zu einem bedeutenden Teil aus der Zahlentheorie, aber wir werden uns auch die Analysis und die Wahrscheinlichkeitstheorie zu Nutze machen.

In diesem Zusammenhang gibt es unzählige beeindruckende neuere Erkenntnisse, auf die wir zu sprechen kommen werden. So gibt es zum Beispiel den Satz von Erdős-Kac, der besagt, dass die Anzahl der Primfaktoren einer zufällig aus der Menge der ersten N Zahlen für große N gezogenen Zahl annähernd normalverteilt ist. Im Jahr 2004 wurde der Satz von Green-Tao bewiesen, der garantiert, dass es beliebig lange arithmetische Progressionen gibt, die nur aus Primzahlen bestehen.

• Dr. Cynthia Hog-Angeloni, Mathematikerin an der Gutenberg-Universität Mainz und der Goethe-Universität Frankfurt am Main
• Maxim Gerspach, Mathematik-Doktorand an der ETH Zürich

Veröffentlicht im Oktober 2017 in Akademiejahr 2018, Fachkurse 2018, KURSE, Mathematik von Peter Gorzolla; zuletzt geändert: 13. November 2021
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